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中值定理笔记
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date: 2020-02-28T13:02:00+00:00
description: 高等数学-高汝熹 4.1 中值定理 罗尔定理 若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$连续，而再开区间$(a,b)$可导，且在端点处$f(a)=f(b)$，则在区间$(a,b)$内比存在一点$\xi$使得$f'(\xi)=0$。 几何意义：对于$f(x)​$，其需要连续且可导，在这种情况下，其两端点的函数值相等，则在$(a,b)​$上必有一点的切线平行于$x​$轴。 证明： 对于$f(x)$，设其在开区间$(a,b)$中，可以取到最大值$M$和最小值$m$，有两种情况需要讨论： $M=m​$时： 此时最大值和最小值相等，都在同一直线上，说明点$a,b​$之间为一条直线，在这种情况之下，函数上处处导数为0，得证，可以找到$\xi​$使得$f'(\xi)=0​$，此时$\xi​$可以去$(a,b)​$之间的一切实数。 $M\ne m$时： 我们不妨设$f(a)\ne M,f(\xi)=M​$则可得： $$ \begin{align*} f(x+\Delta x) \le f(x) \end{align*} $$ 移项，可得： $$ \begin{align*} f(\xi+\Delta x)-f(\xi)\le 0 \\\\ \Delta x >0: \frac {f(\xi+\Delta x)-f(\xi)}{\Delta x} \le 0 \\\\ \Delta x <0: \frac {f(\xi+\Delta x)-f(\xi)}{\Delta x} \ge 0 \\\\ \end{align*} $$ 由于连续，可导所以以下极限必定存在： $$ \begin{align*} \lim_{\Delta x \to 0} {\frac {f(\xi + \Delta x) - f(\xi)}{\Delta x}} = f'(\xi) \end{align*} $$ 通过（1）、（2）两式可对其求单侧极限： $$ \begin{align*} \lim_{\Delta x \to +0} {\frac {f(\xi + \Delta x) - f(\xi)}{\Delta x}} \le 0 \\\\ \lim_{\Delta x \to -0} {\frac {f(\xi + \Delta x) - f(\xi)}{\Delta x}} \ge 0 \end{align*} $$ 即： $$ \begin{align*} f'(\xi) =\lim_{\Delta x \to 0} {\frac {f(\xi + \Delta x) - f(\xi)}{\Delta x}} = 0 \end{align*} $$ 得证。 拉格朗日中值定理 若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$连续，在开区间$(a,b)$内可导，则在开区间$(a,b)$内必定存在$\xi$使得： $$ \begin{align*} f(b)-f(a)=(b-a)f'(\xi) \end{align*} $$ ​ 成立。 几何意义：我们可以注意到(6)式可以改写成： $$ \begin{align*} f'(\xi)=\frac {f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*} $$ 也就是说函数上必定存在一点$\xi$使得$f'(\xi)$等于$a,b$两点的切线斜率，即其平行于此点处的切线。 证明： 首先，构造函数： $$ \begin{align*} \varphi(x) = f(x)-f(a)-\frac {f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \end{align*} $$ 很容易的出结论：$\varphi(a)=\varphi(b)=0$。也就是说$\varphi(x)$满足罗尔定理的一切条件，即可得式(5)的结论。 设此点为$\xi$则必有： $$ \begin{align*} \varphi'(\xi)=0 \end{align*} $$ 成立，即： $$ \begin{align*} \varphi'(\xi)=f'(\xi)-\frac {f(b)-f(a)}{b-a}=0 \end{align*} $$ $$ \begin{align*} f'(\xi)=\frac {f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*} $$ 得证。 拉格朗日中值定理的应用： 由于(6)式，令$b=x+\Delta x$，$a=x$，所以$\xi$可以被表示为$x+\theta\Delta x$的形式： $$ \begin{align*} f(x+\Delta x)-f(x)=f'(x+\theta\Delta x)\Delta x\\\\(0<\theta<1) \end{align*} $$ 又因为微分表达式： $$ \begin…