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引言 再看扩展欧几里得的时候,我一直有一个疑问,即: 为什么扩欧一定有解? 我们可以通过说明欧几里得算法一定有解,来论证扩展欧几里得也一定有解。这显然是正确的,但是这个结论总感觉有点微妙。 我们不妨来考虑下面这个问题:对于方程 特例 注意:裴蜀定理有非常有用的特例: 方程 ax+by=1 有整数解 (x,y) 当且仅当 a,b 互素,即 $\gcd(a,b)=1, ...
欧几里得算法与扩展欧几里得算法 注:本节可以独立阅读,但同时也是 《具体数学》(原书第二版) 4.1 整除性 的旁注。 一个基本事实 记 n=am+b,其中 n,m,a,b∈Z,则 d 为 m,n 的公因数当且仅当 d 为 m,b 的公因数。 证明: 充分性: 若 d∣m,d∣n 则必有 是一个等价结论,所...
注:本节内容为《具体数学》(原书第二版) 第二章 2.7 无限和式 的旁注。 背景 看这节的时候,从定义开始就非常绕,所以特意写一篇独立的文章,来补充无限和式这节。 每一项都非负时无限和式值的定义 在 ak≥0,K 可以是无限的情况下,定义:如果有一个常数 A 为界,使得所有有限子集 F⊂K (注意,这里一定是真包含) 都有 总结与反思 纵观整个...
注:本节内容为《具体数学》(原书第二版) 第三章 整值函数 3.5节 顶和底的和式习题 3.32 的推导。 背景 步入第三章,习题变得愈发困难了起来,困难到我看了答案这题还推了 6 个小时 ... 果然还是水平太菜了。 这里就仔细补全一下书上没写的推导。 原题 求
注:本节内容为《具体数学》(原书第二版) 第三章 整值函数 3.5节 顶和底的和式的旁注。 背景 在 3.5 节底和顶的和式中,作者介绍了定理: 如果 α 是无理数,那么分数部分 {nα} 当 n→∞ 时在 0 和 1 之间是非常一致分布的。即对于无理数 α 以及所有处处连续的有界函数 f 有
注:本节内容为《具体数学》(原书第二版) 第二章 和式 的旁注。 P26-27 已知