注:本节内容为《具体数学》(原书第二版) 第四章 数论 热身题的答案。
4.1
略
4.2
(1)
故
(2)
注意到
联立等式得
4.3
见答案
4.4
具体考察三种差异:
- 方向相反
- 分子取负
- 分母取负
4.5
由归纳可证:
repo 中的 code/ch4/4.5.cpp
为验证代码。
4.6
因为
4.7
根据我在第一章练习题 1.21 中定义的新记号,如果三个死者的编号分别为
注意:最后一个等式之所以为
经过化简可得:
根据上一个式子,
4.8
经过化简可得第二个同余式恒成立,第一个式子转化为
所以
4.9
证明奇数非常容易,因为:
由同余乘法法则,
不难证明:
接下来,我们找其的一个因数来证明其是合数。
不难得到:
4.10
根据公式
4.11
莫比乌斯函数:
类推:
不难得出这个函数的通项:
接下来我们来验证性质。
若
若
故
Q.E.D.
4.12
已在
4.13
(a)
(b)